為了確切地描述超彈體性能，某些材料模型需要從至少3種形變模式中（單向拉伸、雙向拉伸和平面型）輸入應(yīng)力-應(yīng)變的測(cè)試數(shù)據(jù)。多年來(lái)，一直認(rèn)為輪胎分析的成功，得益于使用限單元分析法（FEA）。很大程度上是依靠精心選擇合適的組成材料模型，及正確地輸入與這些模型相關(guān)的材料常量。實(shí)際上，在輪胎的所有橡膠成分中做上述形變模式的實(shí)驗(yàn)，需投入巨大的資本及測(cè)試時(shí)間。為了克服這個(gè)難題，由Yeoh所提的一種簡(jiǎn)化式立體應(yīng)變能函數(shù)被采用。本文運(yùn)用時(shí)間范圍粘彈性設(shè)定了粘彈體的特性，出于此目的而設(shè)計(jì)出一種應(yīng)力松弛測(cè)試法。最后，我們也對(duì)粘彈體材料特性對(duì)于多種參數(shù)，如Von Mises應(yīng)力，應(yīng)變能等的影響一一進(jìn)行了討論。
近年來(lái)，在輪胎的設(shè)計(jì)過(guò)程中已廣泛運(yùn)用有限單元分析法，以通過(guò)最少地使用類型制作及測(cè)試的時(shí)間以減少設(shè)計(jì)周期的時(shí)間。實(shí)際上，輪胎分析中使用有限單元分析法對(duì)于設(shè)計(jì)者而言是一項(xiàng)復(fù)雜的任務(wù)，因?yàn)樗牟牧咸匦院蛶缀翁匦跃歉叨确蔷€性的。輪胎的大面積形變，通常大至20%（比其他機(jī)械結(jié)構(gòu)要大很多），就是幾何非線性的最好例證。一些高級(jí)非線性有限單元分析法標(biāo)準(zhǔn)使我們處理問(wèn)題會(huì)聯(lián)想到輪胎分析法。在有限單元分析中，要將輪胎模型中的應(yīng)變同應(yīng)力聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而描述輪胎各組成物的機(jī)械性能，而其基礎(chǔ)則是選擇正確的機(jī)械模型。意識(shí)到這一點(diǎn)非常重要。
眾多關(guān)于橡膠材料的組成模型的研究已使很多材料模型在描述橡膠的機(jī)械性能上更具準(zhǔn)確性。過(guò)去的幾年中，用于商業(yè)用途的有限單元標(biāo)準(zhǔn)法制成的一些較為流行的材料模型，它們的引入使得設(shè)計(jì)工程師的任務(wù)更為輕松。需要重點(diǎn)提及的是: 關(guān)于材料類型的選擇，很大程度上由眾多因素所影響，如：應(yīng)用類型、應(yīng)變范圍、所需測(cè)試數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性等等。很明顯，使用這些材料模型的設(shè)計(jì)分析的準(zhǔn)確性直接關(guān)系到將材料常量作為輸入值的質(zhì)量。橡膠材料的材料常數(shù)的正確定型取決于加載負(fù)荷速率、應(yīng)變史、應(yīng)變量和形變類型等幾個(gè)方面。據(jù)觀察，形變引起橡膠軟化，而這是獲得平衡應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)的主要障礙。大多數(shù)軟化發(fā)生于第一次形變中，經(jīng)過(guò)幾次形變周期后，帶恒定的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，橡膠接近穩(wěn)定狀態(tài)。這種方式的軟化發(fā)生在有填料或者無(wú)填料的硫化中。這種現(xiàn)象被命名為Mullins效果。為了獲得平衡應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)，測(cè)試樣本需有足夠的機(jī)械條件。在接下來(lái)的幾個(gè)部分中，關(guān)于材料模型的細(xì)節(jié)及關(guān)于確定材料常量的實(shí)驗(yàn)性方法的大致描述，我們都會(huì)進(jìn)行相關(guān)討論。
超彈體材料模型的塑造過(guò)程
一般而言，超彈體模型用于描述高度形變，主要是彈性及可逆性加載負(fù)荷，同時(shí)推斷高度非線性及近乎不可壓縮的材料特性。已開發(fā)出多種理論模型來(lái)描述橡膠超彈體材料的特性。其中，一些是基于統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)，而另一些則采用了唯象法。
統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)以觀察為基礎(chǔ)，觀察發(fā)現(xiàn)：橡膠彈力幾乎全部來(lái)自于熵的減少，而同時(shí)，伸長(zhǎng)卻有所增長(zhǎng)，這來(lái)自于高度無(wú)定形及高熵的非拉伸橡膠的結(jié)構(gòu)。這種方法主要用于處理長(zhǎng)度，定位的統(tǒng)計(jì)分散及橡膠分子的結(jié)構(gòu)，但應(yīng)變值較大時(shí)似乎顯得不足。還可以發(fā)現(xiàn)更多信息。
唯象法則是從連續(xù)介質(zhì)機(jī)械學(xué)的角度處理問(wèn)題。構(gòu)造一個(gè)數(shù)理框架，在無(wú)微觀結(jié)構(gòu)的參考下以辨別出應(yīng)力-應(yīng)變特征。假定橡膠在未篩選狀態(tài)下為一種各向同性材料，也就是說(shuō)，橡膠的長(zhǎng)鏈分子被假定為隨機(jī)排列。橡膠伸展會(huì)引起橡膠分子的定位，但因?yàn)槎ㄎ慌c伸展的方向一致，因此各向同性的假設(shè)依然成立。各向同性的假設(shè)對(duì)于橡膠靠某種數(shù)量，即應(yīng)變能濃度 — 每單位內(nèi)儲(chǔ)存能量而決定的品質(zhì)鑒定非常重要。某些已為人所知的組成模型有：Neo-Hookean, Mooney-Rivlin, Ogden, Yeoh和Van der Woals模型等。在已出版的相關(guān)文章中可找到關(guān)于超彈體材料模型的相關(guān)信息。
基于應(yīng)變能功能的一般多項(xiàng)式形式已研制出多種經(jīng)驗(yàn)橡膠彈性模型。Rivlin提出的最普通的應(yīng)變能函數(shù)為：
ijk=0
W=∑Cijk (I1-3) i (I2-3) j (I3-1) k (1)
ijk-0
其中I1，I2和I3為主要的應(yīng)變常量。假如是不可壓縮材料，I3=1，則應(yīng)變能函數(shù)變?yōu)椋?/SPAN>
ij=n
W=∑Cij (I1-3) i (I2-3) j (2)
ij-0
從方程2中只取第一和第二項(xiàng)，
W= C10 (I1-3)+C01 (I2-3) (3)
這就是Mooney-Rivlin材料模型。在橡膠產(chǎn)品的分析中，它是最為流行的材料模型。實(shí)際上，這種模型在下列方面卻有其內(nèi)在缺陷。這種模型不能預(yù)測(cè)橡膠材料的較大應(yīng)變特性。據(jù)觀察，從某一種形變模式中測(cè)得的Mooney-Rivlin常量對(duì)于預(yù)測(cè)其他形變模式中的特性收效甚微。而且，這種模型預(yù)測(cè)現(xiàn)行剪切應(yīng)力-應(yīng)變同恒定剪切模量的關(guān)系，而實(shí)際上，這在碳黑填充的橡膠材料中并不是觀測(cè)對(duì)象。Neo-Hookean模型也有類似的不足之處。雖然Ogden模型可以非常出色地預(yù)測(cè)較大應(yīng)變特性（包括應(yīng)力應(yīng)變曲線的上升趨勢(shì)），但當(dāng)多軸測(cè)試數(shù)據(jù)有效時(shí)，它才能發(fā)揮最佳性能。值得一提的是：上述缺陷對(duì)于輪胎分析來(lái)說(shuō)相當(dāng)之關(guān)鍵，因此就需有一種合適的材料模型。在這種背景下，Yeoh為橡膠材料的品質(zhì)鑒定提出了一種新的應(yīng)變能公式。Yeoh模型假設(shè)應(yīng)變能濃度是第一主要應(yīng)變常量I1的函數(shù)公式。不考慮I2的原因是同I1相比，其貢獻(xiàn)微乎其微，這在已出版過(guò)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中亦有記載。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)于（I1-3）的立體應(yīng)變能函數(shù)：
W= C10 (I1-3)+C20(I1-3) 2+C30(I1-3) 3 (4)
單向延伸中應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如下：
σ/(λ-λ2）=2C10+4C20 (I1-3)+6 C30(I1-3)2 (5)
Yeoh模型的某些獨(dú)特的特點(diǎn)使它與其他模型與眾不同，這些特點(diǎn)包括：
● 同其他材料模型不一樣的是，Yeoh模型可在更多的形變中得以應(yīng)用。
● 這種模型可通過(guò)從一種簡(jiǎn)單的形變模式，如單向延伸中獲得的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)出在其他形變模式中的應(yīng)力-應(yīng)變特性。這就避免了進(jìn)行煩瑣實(shí)驗(yàn)的必要，如雙向延伸或剪切測(cè)試實(shí)驗(yàn)等，這些實(shí)驗(yàn)不僅費(fèi)時(shí)間，而且極費(fèi)財(cái)力。
● 隨著不斷增長(zhǎng)的形變，這種模型也能預(yù)測(cè)剪切模塊的變化。
本文選擇Yeoh材料模型來(lái)描述橡膠化合物的超彈特性。
粘彈性材料的塑造
彈性體的粘彈性，或者說(shuō)是應(yīng)力變化的延遲反應(yīng)，對(duì)于輪胎性能預(yù)測(cè)至關(guān)重要。動(dòng)力學(xué)理論中研究彈性體材料的粘彈性效果的平衡或逆向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系已不是研究的主流。眾所周知，彈性體能展示與時(shí)間相關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象，如應(yīng)力松弛、塑性形變和變頻等動(dòng)力學(xué)特性。這些粘彈體特性對(duì)于輪胎的牽引力（濕和干）、操縱反應(yīng)和抗?jié)L動(dòng)性（燃油效率）等特性有明顯的影響。因此，輪胎分析中也需要考慮粘彈性以更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出產(chǎn)品的性能。
線性粘彈體的數(shù)理理論可通過(guò)一種分析展示，這種分析的內(nèi)容為：理想的彈簧粘壺模型，分別代表某種材料的彈性部分和粘性部分對(duì)應(yīng)力做出的反應(yīng)。第一種是Maxwell模型，它由一個(gè)彈簧和一個(gè)粘壺（緩沖器）串聯(lián)構(gòu)成。裝料的突然應(yīng)用引起彈簧迅速地?fù)锨?，緊接著是粘壺的塑性形變。另一方面，彈簧上一次突然的形變產(chǎn)生了一次快速的反應(yīng)，根據(jù)指數(shù)定理，接著即為應(yīng)力松弛。第二種是Kelvin模型（也被稱做Voigt或Kelvin-Voigt），它由平行的彈簧和粘壺組成。突然向其加力并未產(chǎn)生撓曲，因?yàn)檎硥兀ㄅc彈簧平行放置）不是同時(shí)運(yùn)動(dòng)的。相反地，逐漸生成了形變，而彈簧承受了持續(xù)增加的負(fù)荷。粘壺置換指數(shù)性地松弛。第三種模型是標(biāo)準(zhǔn)的線性固體物，它由2個(gè)彈簧和1個(gè)粘壺構(gòu)成。而它的性能則是Maxwell和Kelvin模型性能的綜合體。
在大多數(shù)商用有限分析項(xiàng)目中，與時(shí)間相關(guān)聯(lián)的材料特性根據(jù)含有超彈體應(yīng)變能函數(shù)的粘彈體構(gòu)成物定理所塑造。粘彈體反應(yīng)可劃分為時(shí)間范圍和頻率范圍，取決于分析的類型。時(shí)間范圍的粘彈體材料由Prony無(wú)量綱松弛模塊的系列膨脹所界定。
N -p
gR(t)=1-∑ gi (1-e-t/τGi) (6)
i=1
其中, gR(t)是正常的松弛模塊，N是Prony條件的數(shù)量，是材料常量。
實(shí)驗(yàn)程序
本研究中使用的是乘用車用子午線輪胎，研究用于不同組成物（如胎面、側(cè)壁、帶束等）的所有橡膠化合物。用單向拉伸法以區(qū)分出用拉力測(cè)試機(jī)的橡膠硫化物的機(jī)械性能（應(yīng)力-應(yīng)變）。根據(jù)ASTM D-412定理將拉伸測(cè)試樣品從型材中切割出來(lái)。在實(shí)際觀測(cè)之前，樣品以每分鐘50mm的速度預(yù)伸展，最大時(shí)為100%應(yīng)變，并長(zhǎng)達(dá)10個(gè)周期。我們要求這次預(yù)調(diào)節(jié)能消除應(yīng)力-軟化的影響。在預(yù)調(diào)節(jié)中，樣品每次卸荷和再負(fù)荷之間有5分鐘的松弛時(shí)間。預(yù)調(diào)節(jié)的最后，從夾具上拿下樣品并在開始做最后的測(cè)試之前，讓它們松弛30分鐘。隨后，測(cè)試樣品，并在不同的應(yīng)變間隔記錄下應(yīng)力的值。包括預(yù)調(diào)節(jié)測(cè)試在內(nèi)的所有觀測(cè)均只在室溫下進(jìn)行。
應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)運(yùn)用的是拉伸模式，使用拉力實(shí)驗(yàn)機(jī)以測(cè)出橡膠化合物的粘彈特性。通過(guò)速度為每分鐘500mm的方式伸展樣品來(lái)進(jìn)行預(yù)調(diào)節(jié)，并持續(xù)幾個(gè)周期，最后，樣品有30分鐘的松弛時(shí)間。隨后，伸展樣品到100%應(yīng)變程度，并在此條件下持續(xù)900秒以進(jìn)行應(yīng)力松弛測(cè)試。不同時(shí)間間隔內(nèi)的應(yīng)力值也被一一記錄。
超彈體，粘彈體材料常量的測(cè)定
通過(guò)Abaqus中的最小平方曲線調(diào)整程序進(jìn)行實(shí)驗(yàn)性應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)中某些部分的超彈體材料常量的測(cè)定，這種方法將應(yīng)力中的相對(duì)誤差降到最低程度。其相對(duì)誤差為：
E=∑（1-Tith/Titest) 2 (7)
其中，Titest是測(cè)試數(shù)據(jù)中的應(yīng)力值，Tith來(lái)源于從多額應(yīng)變能函數(shù)中獲得的公稱應(yīng)力表達(dá)法。已檢查過(guò)所有材料的Drucker穩(wěn)定標(biāo)準(zhǔn)。表1所示為所有橡膠化合物的Yeoh材料模型（C10，C20，C30）的材料常量的值。據(jù)觀察，C20的所有值均為負(fù)數(shù)，而且數(shù)值都小于C10。而C30皆為正數(shù)，但數(shù)值上比較，卻小于C20的值。這些數(shù)值將形成橡膠應(yīng)力-應(yīng)變特性的典型的S形狀：在低應(yīng)變值時(shí)，C10代表初始剪切模塊，因?yàn)樨?fù)系數(shù)（C20）的影響，它能在中等應(yīng)變下軟化，接著，因?yàn)檎禂?shù)（C30）的緣故，應(yīng)變值大幅增加。圖1所示為Yeoh模型和Rooney-Rivlin模型之間的比較，據(jù)觀察，Yeoh模型與測(cè)試數(shù)據(jù)比較吻合。圖2所示為大應(yīng)變值時(shí)（300%）Yeoh模型的適用性。
圖1、胎面化合物Yeoh模型和Mooney-Rivlin模型的比較
圖2、內(nèi)襯化合物中根根實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)調(diào)整Yeoh模型
運(yùn)用從應(yīng)力松弛測(cè)試中獲得的應(yīng)力與時(shí)間數(shù)據(jù)計(jì)算出粘彈體材料的參數(shù)。這些應(yīng)力松弛數(shù)據(jù)被轉(zhuǎn)化成剪切松弛數(shù)據(jù)，推斷材料的近乎不可壓縮性。圖3所示為Abaqus模型（N=2）調(diào)整為帶束層測(cè)試數(shù)據(jù)的比較。接下來(lái)，通過(guò)非線性最小平方調(diào)整程序得出Prony系列參數(shù)。有一條基本定律是：Prony系列中條件數(shù)量不能超過(guò)被測(cè)試數(shù)據(jù)spanned刻度化的對(duì)數(shù)十進(jìn)制量。目前的測(cè)試數(shù)據(jù)達(dá)到了900秒（≈3十進(jìn)制）。因此2-3 Prony系列條件需要做一次很好的調(diào)整。此例中，兩條件Prony系列常量被用于代表所有橡膠化合物的粘彈性，表2所示為其值。
圖3、根據(jù)應(yīng)力松弛測(cè)試數(shù)據(jù)調(diào)整Abaqus模型的比較
結(jié)論
已為橡膠材料研制出超彈體和粘彈體材料常量的簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)性方法。運(yùn)用單軸拉伸測(cè)試法和應(yīng)力松弛測(cè)試（拉伸模式中）分別界定出超彈體和粘彈體材料的特性。后來(lái)，運(yùn)用這些材料常量進(jìn)行某種輪胎的分析研究，在預(yù)測(cè)值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間顯示出很好的關(guān)聯(lián)性。實(shí)驗(yàn)證明，粘彈體材料的內(nèi)在物質(zhì)能改善預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。不久以后，我們計(jì)劃開發(fā)出更為先進(jìn)的，可預(yù)測(cè)輪胎耐滾動(dòng)性和溫度分布的粘彈體測(cè)試方法。
表1、超彈體材料常量
材 料 常 量
化合物 C10(N/mm2) C20(N/mm2) C30(N/mm2)
胎面 0.7769 -0.2759 0.0953
側(cè)壁 0.4876 -0.1413 0.0386
胎身 0.4795 -0.1356 0.0436
帶 1.0239 -0.4272 0.1732
填料 1.0414 -0.3908 0.1343
墊帶 0.6659 -0.2085 0.0651
內(nèi)襯 0.4861 -0.1152 0.0253
胎圈 0.5998 -0.1218 0.0267
表2、粘彈體材料常量
材 料 常 量
化合物 松弛模塊(g) 松弛時(shí)間(t)秒
g1 g2 t1 t2
胎面 0.1296 0.1209 1.08 51.42
側(cè)壁 0.0619 0.0689 1.70 109.3
胎身 0.0567 0.0681 2.44 99.51
帶 0.0853 0.0834 0.92 54.63
填料 0.1132 0.1113 0.97 51.70
墊帶 0.0868 0.0889 1.18 60.31
內(nèi)襯 0.0910 0.0944 1.01 60.15
胎圈 0.0844 0.0959 1.30 109.1
（轉(zhuǎn)載）
