隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，有限元法因其精度高、收斂性好、使用方便等優(yōu)點(diǎn)逐漸被應(yīng)用到板簧的設(shè)計(jì)中。鋼板彈簧是汽車中廣泛應(yīng)用的彈性元件，剛度是其重要的物理參量。因此，在產(chǎn)品試制出來之前，如何更準(zhǔn)確的計(jì)算其實(shí)際剛度就成為大家共同關(guān)心的問題。
傳統(tǒng)的計(jì)算方法，如“共同曲率法”和“集中載荷法”等均存在一定的局限性，在計(jì)算中往往需要加入經(jīng)驗(yàn)修正系數(shù)來調(diào)整計(jì)算結(jié)果。鄒海榮等應(yīng)用有限元法分析了某漸變剛度鋼板彈簧的異常斷裂問題，提出了避免此種斷裂的改進(jìn)措施。胡玉梅等針對(duì)某汽車后懸架的鋼板彈簧應(yīng)用Ansys軟件分析了其靜態(tài)強(qiáng)度特性，給出了鋼板彈簧在不同載荷作用下的應(yīng)力分布，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)符合的較好。谷安濤則討論了應(yīng)用有限元法設(shè)計(jì)鋼板彈簧的一般流程，給出了設(shè)計(jì)的示例。
有限元法的最大優(yōu)點(diǎn)之一就是可以仿真設(shè)計(jì)對(duì)象的實(shí)際工作狀態(tài)，因而可以部分代替試驗(yàn)，指導(dǎo)精確設(shè)計(jì)。汽車鋼板彈簧存在非線性和遲滯特性。應(yīng)用有限元法進(jìn)行分析時(shí)需要考慮大變形及接觸，即需要同時(shí)考慮幾何非線性和狀態(tài)非線性，這將使得計(jì)算不容易收斂，因而需要較高的求解技巧及分析策略。
本文采用Nastran的非線性分析模塊分析了某鋼板彈簧的剛度特性，討論了摩擦對(duì)其性能的影響，其分析流程及結(jié)果可以為同類型產(chǎn)品的設(shè)計(jì)提供參考。
2 鋼板彈簧剛度的計(jì)算方法
傳統(tǒng)的計(jì)算方法有“共同曲率法”和“集中載荷法”。此外，國內(nèi)學(xué)者郭孔輝針對(duì)共同曲率法中存在的固有缺陷，提出了一種稱為主片分析法的計(jì)算方法，田光宇等則針對(duì)集中載荷法的固有缺陷，提出了改進(jìn)的集中載荷法。這些方法的出發(fā)點(diǎn)都是把板簧各片看成是等截面的懸臂梁，不考慮板簧各片之間的摩擦和板簧變形過程中的大變形特性，采用經(jīng)典梁公式計(jì)算第1葉片的端點(diǎn)撓度，進(jìn)而求得板簧的剛度。
2.1共同曲率法
共同曲率法由前蘇聯(lián)的帕爾希洛夫斯基提出，其基本假設(shè)為板簧受載后各葉片在任一截面上都有相同的曲率，即把整個(gè)板簧看成是一變截面梁，由此推出對(duì)稱板簧的剛度計(jì)算公式如下：
2.2集中載荷法
集中載荷法的基本假設(shè)為板簧各葉片僅在端部相互接觸，即假定第i片與第i-1片之間僅有端部的一個(gè)接觸點(diǎn)，接觸力為Pi，并且在接觸點(diǎn)處兩相鄰葉片的撓度相等。其中P1為第1片所受外載荷。因此，系統(tǒng)中的未知力為P2，P3，?，Pn共n-1個(gè)，由接觸點(diǎn)處撓度相等可得到n-1個(gè)方程，求解此方程組可得到未知作用力P2，P3，?，Pn，再根據(jù)第1片所受載荷求出第1片的端點(diǎn)撓度，進(jìn)而可求得板簧的剛度。板簧剛度的計(jì)算公式如下：
2.3主片分析法
共同曲率法假設(shè)板簧受載后各葉片在任意橫截面上都有相同的曲率，這一假設(shè)中存在一個(gè)明顯與事實(shí)不相符的地方，即各片自由端均不可能存在集中彎矩，因此也就不可能與上一片同一截面處曲率相等。為此，主片分析法做出了如下假設(shè)。
a.每片板簧分為約束部分與非約束部分，第i片板簧的約束部分與非約束部分的定義如圖1所示。
b.板簧各片在非約束部分向下自由變形，在約束部分符合共同曲率假設(shè)，即各截面上與上一片在此區(qū)段內(nèi)的曲率相同。
基于以上假設(shè)，可得板簧剛度計(jì)算公式如下：
式中各符號(hào)意義與前述相同，其中an+2=an+1=l1。
2.4改進(jìn)的集中載荷法
集中載荷法假定板簧每片僅在端部相互接觸，而實(shí)際上板簧片內(nèi)各點(diǎn)也可能互相接觸，基于此種想法，改進(jìn)的集中載荷法提出了如下假設(shè)。
a.各片之間不僅僅在端點(diǎn)處存在相互作用，而是存在若干個(gè)接觸點(diǎn)，如圖2所示，第i片與第i-1片之間存在Ni個(gè)接觸點(diǎn)，記這些點(diǎn)到板簧對(duì)稱面的距離為lij，j=1，2，?，Ni。
b.第i片與第i-1片之間僅在預(yù)先設(shè)定的Ni個(gè)接觸點(diǎn)相互作用有集中力，記為Pi1，Pi2，PiNi，如圖2所示。
與集中載荷法類似，系統(tǒng)中共有個(gè)
未知力，由
個(gè)接觸點(diǎn)處的撓度相等可以得到
個(gè)方程，求解此方程組即可得到各個(gè)未知力的大小。根據(jù)第1片上的受力情況即可求得第1片的片端撓度，進(jìn)而可以求得板簧的剛度。
與集中載荷法不同，用此法計(jì)算出來的結(jié)果不能保證各個(gè)未知力均大于或等于零（即接觸點(diǎn)之間只能存在壓力），為此，需要運(yùn)用迭代算法來解決這一問題。
以上各種計(jì)算方法的共同點(diǎn)就是把板簧各片近似等效為懸臂梁，而對(duì)各片之間的接觸采用不同的方法進(jìn)行模擬。實(shí)際上，板簧工作時(shí)存在大變形特性，用線性懸臂梁模擬存在一定偏差，而且板簧各片間的接觸模擬方式也較粗糙。采用有限元法計(jì)算板簧剛度就可以克服上述缺點(diǎn)，使得計(jì)算精度更高，并且對(duì)變截面簧、少片簧和漸變剛度板簧都可以很好的求出其工作剛度，具有實(shí)際的意義。
3 鋼板彈簧剛度的有限元分析
3.1求解步驟
有限元法求解板簧剛度的步驟如下。
a.按照板簧的設(shè)計(jì)尺寸構(gòu)建板簧的三維實(shí)體幾何模型。
b.采用三維實(shí)體單元對(duì)板簧各片進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，賦予材料參數(shù)。
c.用接觸單元定義板簧各片之間的接觸。
d.按照板簧的實(shí)際工作狀態(tài)對(duì)模型施加載荷與約束。
e.提交計(jì)算，得到板簧的載荷-變形曲線，對(duì)于恒剛度多片簧，對(duì)此曲線進(jìn)行線性擬合，即可得出鋼板彈簧剛度的數(shù)值。
運(yùn)用有限元法求解板簧剛度時(shí)應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：一是正確合理的約束，二是葉片間摩擦的處理，即如何選取合適的摩擦系數(shù)，三是選擇合適的接觸剛度。
3.2幾何模型
計(jì)算對(duì)象為某型10片等厚度對(duì)稱鋼板彈簧，其右半部分如圖3所示。
表1給出了板簧裝配后的幾何尺寸。裝配后的總成弧高為120mm。
3.3有限元模型及載荷邊界條件
由于板簧的對(duì)稱性，只取其一半進(jìn)行分析，采用8節(jié)點(diǎn)6面體單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格，劃分好的有限元模型如圖4所示。
在對(duì)稱面上施加固定約束，在板簧懸臂端施加7.5kN的集中載荷，板簧各片之間的接觸采用slideline線-線接觸單元模擬，如圖5所示。為清楚起見，各片之間的接觸單元沒有畫出。
3.4 求解及后處理
把整個(gè)載荷分為30個(gè)子載荷步施加到模型中去，采用Nastran的非線性求解器sol106進(jìn)行求解，根據(jù)各載荷步的垂直載荷及垂直位移即可得到板簧的載荷-位移曲線，進(jìn)而可以得到板簧的剛度。
曲線由曲線數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合可得到此板簧的剛度為0.1419kN/mm。
3.5結(jié)果討論
分別采用共同曲率法、集中載荷法、主片分析法計(jì)算了此鋼板彈簧的剛度，并與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比（見表2）。由結(jié)果可見，傳統(tǒng)計(jì)算方法和有限元法計(jì)算得到的結(jié)果相差不大，但均存在一定差異，這是由于3種傳統(tǒng)方法在考慮葉片之間的接觸時(shí)與實(shí)際情況存在一定偏差，并且未能考慮鋼板彈簧的大變形特性以及鋼板彈簧各片之間的摩擦所致。
4 關(guān)于摩擦的討論
如何準(zhǔn)確有效地模擬摩擦是非常關(guān)鍵的問題，而實(shí)際板簧中各個(gè)葉片之間的摩擦因數(shù)與其使用條件、接觸面之間的狀態(tài)等均有關(guān)系，其準(zhǔn)確值往往很難得到。因此，有必要考查不同摩擦因數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，以明確摩擦在鋼板彈簧彈性行為中的作用。圖7為分別取摩擦因數(shù)μ=0和μ=0.3（動(dòng)摩擦因數(shù)取0.2）時(shí)，鋼板彈簧加載、卸載過程中的載荷-變形曲線。
可見，當(dāng)摩擦因數(shù)μ=0時(shí)，加載與卸載曲線相互重合，此時(shí)板簧的加載剛度與卸載剛度值相等，都為板簧的實(shí)際剛度。
當(dāng)摩擦因數(shù)不為零時(shí)，加載與卸載路徑產(chǎn)生了差別，相同載荷卸載時(shí)所產(chǎn)生的位移要大于加載時(shí)的情況，并且兩者均值與摩擦因數(shù)為零時(shí)的位移值相等。由此，可以得知摩擦使得板簧的加載剛度大于卸載剛度，兩者的平均剛度即板簧的實(shí)際剛度可以等效為沒有摩擦?xí)r的情況。
在卸載的初始階段，隨著載荷的減小，板簧位移幾乎不發(fā)生變化，這是由于在采用庫侖摩擦模型時(shí)，在載荷減小的瞬間，葉片之間的動(dòng)摩擦轉(zhuǎn)變?yōu)殪o摩擦，各片相對(duì)位置不再發(fā)生變化；隨著載荷的進(jìn)一步減小，葉片間的最大靜摩擦力不足以抵消板簧的回彈力與外載荷之差時(shí)，葉片之間的靜摩擦又轉(zhuǎn)變成了動(dòng)摩擦，繼續(xù)卸載，板簧才沿卸載曲線繼續(xù)變形，直至載荷為零。
板簧實(shí)際工作中承受動(dòng)態(tài)載荷，因此需要考查其動(dòng)態(tài)剛度特性。為此，在板簧懸臂端施加了一個(gè)正弦激勵(lì)，以考查其動(dòng)態(tài)性能，其表達(dá)式為：
f=3.75cos（0.04πt）+11.25
模型的約束仍采用計(jì)算靜剛度時(shí)的約束，把靜態(tài)載荷替換為上述的動(dòng)載荷，采用Nastran的非線性瞬態(tài)求解器sol129得到板簧的瞬態(tài)位移響應(yīng)（圖8）。
由圖8可以看出，在正弦激勵(lì)作用下，板簧的位移響應(yīng)有一個(gè)明顯的滯后，并且在加載、卸載狀態(tài)變化時(shí)，均存在一個(gè)位移相對(duì)變化很小的平臺(tái)期，這都是因?yàn)槟Σ链嬖诘木壒?。圖9為承受動(dòng)載荷時(shí)板簧的載荷-位移曲線。
由圖9可見，在每一次循環(huán)中，外力功之和并不為零，而是圖中遲滯曲線所包圍的面積，據(jù)此可以得出鋼板彈簧在此載荷作用下的等效阻尼，此處不再詳述。
最后，應(yīng)指出的是，在此僅討論葉片之間的摩擦對(duì)剛度特性的影響。通常，靜摩擦因數(shù)可取0.2～0.3，動(dòng)摩擦因數(shù)取0.15～0.2，但對(duì)于不同的鋼板彈簧，其葉片之間的摩擦因數(shù)應(yīng)由試驗(yàn)確定。
5 結(jié)束語
采用有限元法分析了鋼板彈簧的剛度特性，并討論摩擦的影響，得到以下結(jié)論。
a.采用有限元法可以準(zhǔn)確的得到鋼板彈簧的剛度特性。與傳統(tǒng)的方法相比，有限元法能更精確的反映鋼板彈簧葉片之間的接觸和摩擦等細(xì)節(jié)。
b.摩擦特性影響鋼板彈簧的動(dòng)剛度，使之表現(xiàn)出遲滯特性，但對(duì)鋼板彈簧的靜剛度影響不大。
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